若｛x|2^x=kx｝∈R,则k的取值范围是?

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 20:11:30
若｛x|2^x=kx｝∈R,则k的取值范围是?
A. 0≤k＜eIn2 B. 0≤k＜e^2In2 C. k＜In2 C. k＜eIn2
过程详细点吧!

题目为若｛x|2^x>kx｝=R,则k的取值范围是?
A. 0≤k＜eIn2 B. 0≤k＜e^2In2 C. k＜In2 C. k＜eIn2

选A

解：｛x|2^x>kx｝=R代表的意思是对任意的x都有2^x>kx
那么令y=2^x-kx，也就是说对任意的x都有y>0。
也就是说y的最小值都必须大于0，
那么我们先求出y的最小值即可。
对y求导得到y’=ln2*2^x-k,
令y'=0,即ln2*2^x-k=0，
那么x=log2(k/ln2),
也就是说在x=log2(k/ln2)时y取最小值。
最小值为Ymin=2^x-kx=k/ln2-klog2(k/ln2)
=k[1/ln2-log2(k/ln2)]
显然k是大于等于0的，所以只需1/ln2-log2(k/ln2)>0,
因为ln2=ln2/lne
那么上式变形得到lne/ln2-log2(k/ln2)>0
即log2e-log2(k/ln2)>0
那么e>k/ln2
即k＜eIn2
所以0≤k＜eIn2